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实值复变函数求导 ——（Wirtinger derivatives）_wirtinger导数-程序员宅基地

1.背景知识

在工程应用中，特别是信号处理领域，经常会遇到一些关于复信号的计算，一个典型的例子就是著名的快速傅里叶变换（FFT），它会将实信号也映射为复信号。与实信号相比，复信号包含额外的相位信息。某些物体，例如phase object，其有效信息完全包含在相位信号中。而且实数作为复数的一个子集，针对复信号设计的算法往往有更加广泛的应用。因此，研究复信号是非常有必要的。

常见的对的复信号的处理是将其实部和虚部分开，然后进行单独处理，这样就可以用处理实信号的方法解决复信号的问题。但是，这种方法往往包含很多重复步骤分别用来处理实部和虚部。我们希望能够直接在复数域进行相关分析，从而让整个算法的结构变得更加精简。

信号复原是信号处理中一个重要的方向，主要研究根据测量结果恢复出原始信号，而这个问题常常被看作是一个优化问题。解决优化问题经常要用到函数的梯度，因此有必要研究复变函数的一些求导理论。

2.经典的复变函数可导性

在传统的复变函数理论中，可导性的要求非常严格，具体定义为：如果复变函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 处可导，那么极限

$\lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$

总是存在，与 $z$ 趋近于 $z_0$ 的路径无关。因此，若将其写成实部和虚部的形式，那么对于函数 $f(z) = u(z)+iv(z)$ 和变量 $z = x+iy$ , 必须满足条件:

$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$ ,

这一性质与势能函数类似，即做功只与始末位置有关，而与路径无关，比如重力势能只与高度有关。因此其在一个封闭路径上的积分为0，从而可导函数具有上述的偏导数约束。

这种定义下的导函数是实数导数理论的一个直接推广，但是适用性较窄，使用时限制条件较多。一类典型的不具有这种可导性的函数包括所有的实值复变函数（非常函数）。对于这种函数， $u(z)$ 不为常数， $v(z) = 0$ ,因此 $\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x} = 0$ ,必不满足上述偏导数条件。但是，这类实值函数在实际应用中很常见，一个例子是评价函数。对于一个复原后的复信号，我们对它的评价一定为一个实数，这样才可以用该指标的大小评价信号的好坏（一般复数无法直接比较大小）。在模仿深度学习进行误差反向传播更新的过程中，必然会涉及到实值复变函数的求导，而上述导数定义无法使用，因此引入了Wirtinger导数体系解决这个问题。

3. Wirtinger 导数

Wirtinger 导数由Remmert与1995年提出 [1]，用于解决实值复变函数的问题。首先通过实部与虚部分离的方法研究一个复变函数 $f(z) = F(x,y) = U(x,y)+iV(x,y), z = x+iy$ 的微分问题。根据多元函数的微分性质

$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx +\frac{\partial F}{\partial y} dy = \frac{\partial U}{\partial x} dx + \frac{\partial V}{\partial x} idx + \frac{\partial U}{\partial y} dy + \frac{\partial V}{\partial y} idy$ ,

根据z与x和y的关系，可将其改写成关于z的微分：

$x = \frac{z+z^*}{2}, dx = \frac{dz+dz^*}{2}\\ ~~~~~y = \frac{z-z^*}{2i}, dx = \frac{dz-dz^*}{2i}$ ,

带入上式可得，若 $dF = \frac{\partial F}{\partial z}dz + \frac{\partial F}{\partial z^*}dz^*$ ,那么

$\frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y})\\ ~~~~~\frac{\partial }{\partial z^*} = \frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y})$ ,

这两个导数就被称为Wirtinger导数（Wirtinger derivatives）。

根据上述定义，可以得到一个Wirtinger求导法则中非常重要的一组等式

$\frac{\partial z^*}{\partial z} = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial x}{\partial x}-i\frac{\partial (-iy)}{\partial y}\right] = 1-i*(-i) = 0\\ ~~~~~\frac{\partial z}{\partial z^*} = \frac{1}{2}\left[\frac{\partial x}{\partial x}+i\frac{\partial (iy)}{\partial y}\right] = 1+i*i = 0$ .

类比多元函数中偏导数恒为零的情况，我们可以很自然得得出一个结论：在Wirtinger求导法则中， $z$ 和 $z^*$ 可以看作两个互不相关的变量，只要分别对其单独求导即可。例如，对 $z$ 求导时，可将 $z^*$ 看作常量，反之亦然。

最后举一个例子。复数的模平方的计算公式为 $\|z\|^2 = z^*z$ ,那么在Wirtinger导数体系下，其关于z的导数为

$\frac{\partial \|z\|^2}{\partial z} =\frac{\partial z^*z}{\partial z} = z^*, \frac{\partial \|z\|^2}{\partial z^*} =\frac{\partial z^*z}{\partial z^*} = z$ .

模函数也为一个实值函数，它也具有实值函数特有的求导性质

$dF = 2Re(\frac{\partial F}{\partial z}dz)$ .

对于梯度下降法，其最速下降方向为 $\frac{\partial F}{\partial z^*}$ ,其中F为实值复变函数。

参考文献：

[1] Remmert, R. (1991). Theory of complex functions (Vol. 122). Springer Science & Business Media.

[2] (一份实用课件) https://mediatum.ub.tum.de/doc/631019/631019.pdf

本文链接：https://blog.csdn.net/weixin_37872766/article/details/107673096

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