技术标签: 欧拉序 ST表 动态点分治 欧拉序+ST表求LCA
题目:
题解:大坑啊,来自巨佬的题解 https://www.cnblogs.com/bztMinamoto/p/9489473.html
题意转化后就是求带权的重心,考虑暴力的做法:设原树的树根 r t rt rt, s u m r t sum_{rt} sumrt为 rt的所有子树的点权的和, d i s r t dis_{rt} disrt为rt子树的点到 r t rt rt 的距离和(题目就是要求 d i s dis dis最小的那个点)。我们知道重心若不是根结点rt,必然在 rt的某一个子树中(废话),考虑移动到 rt 以 v 为根结点的子树,如果将重心移到 v,v 子树内的点对答案的贡献减少了 dis(rt,v),总共减少了 s u m r t ∗ d i s ( r t , v ) sum_rt * dis(rt,v) sumrt∗dis(rt,v),而其它的点的贡献都增加了 d i s ( r t , v ) dis(rt,v) dis(rt,v),总共增加了 ( t o t − s u m v ) ∗ d i s ( r t , v ) (tot - sum_v) * dis(rt,v) (tot−sumv)∗dis(rt,v),总的改变量就是 d i s ( r t , v ) ∗ ( t o t − s u m v − s u m v ) dis(rt,v) * (tot - sum_v - sum_v) dis(rt,v)∗(tot−sumv−sumv)。观察到如果 v点更优,那么 s u m v > t o t 2 sum_v > \frac{tot}{2} sumv>2tot,显然 r t rt rt的众多儿子中最多只有一个优秀的儿子能满足这条件,对 v 也是一样,所以可以暴力的沿着树链往下跑最后找到最优的那个点。修改点权暴力维护需要 O(n)的时间,每一次查找最优答案也是O(n)的时间,T飞。
考虑如何优化:如果每次朝点分治的分治重心移动,维护的话也沿着重心向上跳更新,可以把复杂度将到 l o g n logn logn,引入动态点分治的思想,构建点分树使得树形平衡从而降低复杂度。
回忆点分治的过程,构建点分树就是在分治时在重心处连边,使得树形转化成一棵相较平衡的树。
void divide(int u) {
//构建点分树
done[u] = true;
for(int i = head[u]; i + 1; i = nxt[i]) {
if(done[to[i]]) continue;
tot = son[to[i]];root = 0;
getroot(to[i],-1);
g[u].push_back(pii(root,to[i]));fa[root] = u;
divide(root);
}
}
分治函数中倒数第二行代码就是在重心处建边。
构建完点分树后复杂度已经得到了保证,就可以开始思考需要维护哪些信息,如何维护。
笨比不能一两句讲清楚,详细还得看大佬的博客(在上方)
(不理解为什么寻找带权重心时要在原树边判断是否要移动)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 3e5 + 10;
const int maxm = 1e6 + 10;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
typedef long long ll;
int n,q,rt;
int cnt,head[maxm],nxt[maxm],to[maxm],w[maxm]; //原图
int son[maxn],f[maxn],root,tot;
bool done[maxn];
vector<pii> g[maxn]; //点分树
int fa[maxn];
int logn[maxn],bin[100],mx;
int dfn[maxn],num;
ll d[maxn],st[maxn][22];
ll v1[maxn],v2[maxn],v3[maxn];
void init() {
fill(head,head + n + 1,-1);
fill(fa,fa + n + 1,0);
fill(v1,v1 + n + 1,0);
fill(v2,v2 + n + 1,0);
fill(v3,v3 + n + 1,0);
fill(d,d + n + 1,0);
num = mx = tot = cnt = root = 0;
}
void add(int u,int v,int wi) {
to[cnt] = v;
w[cnt] = wi;
nxt[cnt] = head[u];
head[u] = cnt++;
}
void dfs(int u,int s) {
dfn[u] = ++num;st[num][0] = d[u];
for(int i = head[u]; i + 1; i = nxt[i]) {
if(to[i] == s) continue;
d[to[i]] = d[u] + w[i];
dfs(to[i],u);
st[++num][0] = d[u];
}
}
ll lca(int a,int b) {
if(dfn[a] > dfn[b]) swap(a,b);
int k = logn[dfn[b] - dfn[a] + 1];
return min(st[dfn[a]][k],st[dfn[b] - bin[k] + 1][k])<<1;
}
ll dis(int a,int b) {
return d[a] + d[b] - lca(a,b);
}
void getroot(int u,int s) {
son[u] = 1;f[u] = 0;
for(int i = head[u]; i + 1; i = nxt[i]) {
if(to[i] == s || done[to[i]]) continue;
getroot(to[i],u);
son[u] += son[to[i]];
f[u] = max(f[u],son[to[i]]);
}
f[u] = max(f[u],tot - son[u]);
if(!root || f[root] > f[u]) root = u;
}
void divide(int u) {
//构建点分树
done[u] = true;
for(int i = head[u]; i + 1; i = nxt[i]) {
if(done[to[i]]) continue;
tot = son[to[i]];root = 0;
getroot(to[i],-1);
g[u].push_back(pii(root,to[i]));fa[root] = u;
divide(root);
}
}
void upd(int u,int val) {
v3[u] += val;
for(int p = u; fa[p]; p = fa[p]) {
ll dist = dis(fa[p],u) * val;
v1[fa[p]] += dist;
v2[p] += dist;
v3[fa[p]] += val;
}
}
ll cal(int u) {
ll ans = v1[u];
for(int p = u; fa[p]; p = fa[p]) {
ll dist = dis(fa[p],u);
ans += v1[fa[p]] - v2[p];
ans += (v3[fa[p]] - v3[p]) * dist;
}
return ans;
}
ll qry(int u) {
ll ans = cal(u);
for(auto it : g[u]) {
ll tmp = cal(it.sec);
if(tmp < ans) return qry(it.fir);
}
return ans;
}
int main() {
scanf("%d%d",&n,&q);
init();
while((1 << (mx + 1)) <= (n << 1)) mx++;
bin[0] = 1;logn[0] = -1;
for(int i = 1; i <= mx; i++) bin[i] = bin[i - 1] << 1;
for(int i = 1; i <= (n << 1); i++) logn[i] = logn[i >> 1] + 1;
for(int i = 1; i < n; i++) {
int u,v,w;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
add(u,v,w);add(v,u,w);
}
dfs(1,-1);
for(int i = 1; i <= mx; i++)
for(int j = 1;j + bin[i] - 1 <= num; j++)
st[j][i] = min(st[j][i - 1],st[j + bin[i - 1]][i - 1]);
root = 0;tot = n;getroot(1,-1);rt = root;
divide(root);
for(int i = 1; i <= q; i++) {
int u,e;
scanf("%d%d",&u,&e);
upd(u,e);
printf("%lld\n",qry(rt));
}
return 0;
}
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