前言

在计算机科学中，图是由节点（或顶点）和边组成的一种数据结构。节点表示图中的对象，边表示节点之间的关系。图可以用来表示现实世界中的许多问题，例如社交网络、电路网络、交通网络、知识图谱等等。在图论中，有许多重要的算法和问题，例如最短路径、最小生成树、最大流等等。 

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一、图的定义

图（Graph）G由两个集合V和E组成，记为G=（V，E)，其中V是顶点的有穷非空集合，E是V中顶点偶对的有穷集合，这些顶点偶对称为边。V(G)和E(G)通常分别表示图G的顶点集合和边集合，E(G）可以为空集。若E(G)为空，则图G只有顶点而没有边。
对于图G，若边集E(G）为有向边的集合，则称该图为有向图；若边集E(G)为无向边的集
合，则称该图为无向图。
在有向图中，顶点对<x，y>是有序的，它称为从顶点x到顶点y的一条有向边。因此，<x，y>与<y,x>是不同的两条边。顶点对用尖括号括起来，对<x，y>而言，x是有向边的始点，y是有向边的终点。<x，y>也称作一条弧，则x为弧尾，y为弧头。
在无向图中，顶点对(x，y)是无序的，它称为与顶点x和顶点y相关联的一条边。这条边没有特定的方向，(x，y）与(y，x)是同一条边。为了有别于有向图，无向图的顶点对用一对圆括号括起来。

二、图的基本术语 

用n表示图中顶点数目，用e表示边的数目。

（1）子图：假设有两个图G=(v，E)和G'=(v'，E)，如果v'v且E'E，则称G'为G的子图。例如，图2是图1的子图。

（2）无向完全图和有向完全图：

有向完全图是指一个有向图，其中每对不同的顶点之间都存在一条有向边，也就是任意两个顶点之间都互相连通。因此，对于n个顶点的有向完全图，它的弧数为n(n-1)。

无向完全图是指一个无向图，其中每对不同的顶点之间都存在一条无向边，也就是任意两个顶点之间都互相连通。因此，对于n个顶点的无向完全图，它的边数为n(n-1)/2。

如图所示

（3）稀疏图和稠密图：

稀疏图和稠密图用来描述图中边的数量和节点数量之间的关系。

一个图被称为稀疏图，是指它的边数相对于节点数比较小或者少。换句话说，稀疏图中节点之间的连接比较少，大部分节点之间没有边相连。

而稠密图则相反，是指它的边数相对于节点数比较大或者多。也就是说，稠密图中节点之间的连接比较多，大部分节点之间都有边相连。例如完全图就是一种稠密图，其中每个节点都与其他节点相连。

（4）权和网：

权（weight）是指每条边或每个顶点上具有的数值，称为权值，常用于表示路径的长度或者边的距离等。在最短路径、最小生成树等算法中起到重要作用。

网（network）是指带有权值的图，也叫带权图。在网中，每条边都有一个权值，常用于表示距离、耗费、强度等概念。常见的网包括最短路径问题中的有向带权图、最小生成树问题中的无向带权图等。

（5）邻接点：对于无向图G，如果图的边(v，v')E，则称顶点v和v'互为邻接点，即v和v'相邻接。边(v,v')依附于顶点v和v'，或者说边(v,v')与顶点v和v'相关联。简单的说就是图中有边相连相邻的两个顶点，它们互为邻接点。

（6）度、出度和入度：顶点v的度是指与v相关联的边的数目，记作TD(v）。对于有向图，顶点v的度分为入度和出度。入度是以顶点v为头的弧的数目（箭头指向的顶点为头），记作ID（v）；出度是以顶点v为尾的弧的数目，记作OD（v）。顶点v的度TD（v）=ID（v）+OD（v）。

（7）路径和路径长度：路径是指沿着图中的边从一个顶点到另一个顶点的一系列顶点。如果这个路径中的所有边都是有向的，则称为有向路径；如果这个路径中的所有边都是无向的，则称为无向路径。路径长度是指路径中经过的边或弧的数量。

  (8)回路或环：如果一个路径从一个顶点开始并以同一顶点结束，则称为回路或环。

（9）简单路径、简单回路或简单环：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第
一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。

（10）连通、连通图和连通分量：连通是指两个顶点间存在一条路径。连通图指一个无向图中任意两个顶点之间都存在一条路径。无向图可以分成两种类型：连通的无向图、不连通的无向图。连通的无向图只有一个极大连通子图,即它本身,因为不存在另一个连通的子图包含的点和边比它本身还要多,所以叫作极大连通子图。不连通的无向图可以拆分为若干个连通的无向图,如果我们在拆分时注意把能连通的点边都放在一个连通子图中,使这个连通子图足够大,以至于再多包含一个点或边它就变成不连通的了,我们称这个连通子图为极大连通子图,也叫连通分量。

（11）强连通图和强连通分量：强连通图指在有向图G中，如果对于每一对vi、vj，vi≠vj，从vi到vj和从vj到vi都存在路径，则称G是强连通图。 有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。