技术标签: 算法 递归与分治策略的实现
1、排列问题:设r={r1,r2,…,rn}是n个元素的集合,求r的全排列。
(1)设计思想:
设 R={r1,r2,⋯,rn} 是要进行排列的n个元素。Rᵢ=R−rᵢ。 集合X中元素的全排列记为 ᵢPerm(X)∘(rᵢ)Perm(X))表示在全排列Perm(X)的每个排列前加上前缀n ᵢrᵢ得到的排列。R的全排列可归纳定义如下:
当n=1时, Perm(R)=(r),其中r是集合R中唯一的元素;
当n>1时, Perm(R)由 (r1)Perm(R1),(r2)Perm(R2),⋯,(rn)Perm(Rn) 构成。
依此递归定义,可设计产生Perm(R)的递归算法如下:
(2)程序代码:
#include<stdio.h>
#include"iostream.h"
template <class Type>
void Perm(Type list[],int k,int m)
{
if(k==m)
{
for(int i=0;i<=m;i++)
cout<<list[i];
cout<<endl;
}
else
{
for(int i=k;i<=m;i++)
{
Swap(list[k],list[i]);
Perm(list,k+1,m);
Swap(list[k],list[i]);
}
}
}
template<class Type>
inline void Swap(Type &a,Type &b)
{
Type temp=a;
a=b;
b=temp;
}
void main()
{
int ar[]={1,2,3};
int n=sizeof(ar)/sizeof(ar[0]);
Perm(ar,0,n-1);
}
实验结果:
2、整数划分问题:将正整数n表示成一系列正整数之和,正整数n的这种表示称为正整数n的划分。求正整数n的不同划分的个数。例如:正整数6有11中不同的划分。
(1)设计思想:
在正整数n的所有划分中,将最大加数n₁不大于m的划分个数记作q(n,m)。可以建立q(n,m)的如下递归关系:
q(n,m)={1 q(n,n) 1+q(n,n−1) q(n,m−1)+q(n-m,m)}
n=1,m=1 n< m n=m n>m>1
据此,可设计计算q(n,m)的递归函数如下。正整数n的划分数p(n)=q(n,n)。
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a,b,c;
int q(int n,int m);
cout<<"请输入整数及大于最大加数的数"<<endl;
cin>>a>>b;
c=q(a,b);
cout<<"所需要的划分数:"<<c<<endl;
return 0;
}
int q(int n,int m)
{
if((n<1)||(m<1)) return 0;
if((n==1)||(m==1)) return 1;
if(n<m) return q(n,n);
if(n==m) return q(n,m-1)+1;
return q(n,m-1)+q(n-m,m);
}
实验结果
3、二分搜索技术:设a[0:n-1]是一个已排好序的数组。请改写二分搜索算法,使得当搜索元素x不在数组中时,返回小于x的最大元素的位置I和大于x的最大元素位置j。当搜索元素在数组中时,I和j相同,均为x在数组中的位置。
(1)设计思想:
时间完成搜索任务。二分搜索算法的基本思想是,将n个元素分成个数大致相同的两半,取a[n/2]与x作比较。如果x=a[n/2],则找到x,算法终止;如果x<a[n/2],则只在数组a的左半部继续搜索x;如果x>a[n/2],则只在数组a的右半部继续搜索x。
(2)程序代码:
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int const length=100;
int n,x;
int a[length];
cout<<"依次输入数组的长度,数组内容、要查找的数"<<endl;
cin>>n;
for(int i=0;i<n;i++)
cin>>a[i];
cin>>x;
void BinarySearch(int a[],int n,int x);
BinarySearch(a,n,x);
return 0;
}
void BinarySearch(int a[],int n,int x)
{
int i,j,mid=0,left=0;
int right=n-1;
while(left<right+1&&left>=0)
{
int mid=(left+right)/2;
if(x==a[mid])
{
i=j=mid;
break;
}
if(x>a[mid])
left=mid+1;
else
right=mid-1;
}
if((i=j)&&(i>=0))
cout<<"所找数据在数组中下标为:"<<i<<endl;
else
cout<<"所找数据不在数组中";
}
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