1、回归是什么

回归（Regression） 就是找到一个函数 function，通过输入特征 x，输出一个数值 Scalar。比较像我们常见的函数拟合。

2、回归的步骤

• step1：模型假设，选择模型框架
• step2：模型评估，如何判断众多模型的好坏（损失函数）
• step3：模型优化，如何筛选最优的模型（梯度下降）

下面以李宏毅老师的课程中的宝可梦能力值的例子来对每个步骤进行分析。

2.1 模型选择

这里我们都选择线性模型进行分析。

2.1.1 单个特征

当选取单个特征时，以特征$x_{cp}$为例，假设线性模型$y=b+w{x}_{cp}$，随着w和b的变化，也就可以得到不同的模型。

2.1.2 多个特征

在实际应用中，输入特征肯定不止$x_{cp}$这一个。例如，进化前的CP值、物种（Bulbasaur）、血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）等，特征会有很多。

所以假设的线性模型应该是：$y=b+\sum w_i{x}_i$

• $x_i$：就是各种特征
• $w_i$：就是各个特征的权重
• $b$：是偏移量

2.2 模型评估

我们使用单个特征进行分析。
这里定义 $x^1$ 是进化前的CP值，${\hat{y}}^1$ 进化后的CP值，$\hat{}$ 所代表的是真实值

将10组原始数据在二维图中展示，图中的每一个点 $(x_{cp}^n,{\hat{y}}^n)$ 对应着 进化前的CP值 和 进化后的CP值。

有了这些真实的数据，那我们怎么衡量模型的好坏呢？从数学的角度来讲，我们使用距离。求【进化后的CP值】与【模型预测的CP值】差，来判定模型的好坏。也就是使用损失函数（Loss function） 来衡量模型的好坏，统计10组原始数据 ${\left({\hat{y}}^n-f(x_{cp}^n)\right)}^2$ 的和，和越小模型越好。如下图所示：
$$\begin{array}{rlr}L(f)& =\sum _{n=1}^{10}{\left({\hat{y}}^n-f(x_{cp}^n)\right)}^2，将【f(x)=y】,【y=b+w\cdot x_{cp}】代入& =\sum _{n=1}^{10}{\left({\hat{y}}^n-(b+w\cdot x_{cp})\right)}^2\end{array}$$

最终定义 损失函数 Loss function：$L(w,b)={\sum }_{n=1}^{10}{\left({\hat{y}}^n-(b+w\cdot x_{cp})\right)}^2$

我们将 $w$, $b$ 在二维坐标图中展示，如图所示：

• 图中每一个点代表着一个模型对应的 $w$ 和 $b$
• 颜色越深代表模型更优

可以与后面的等高线进行对比。

2.3 模型优化

2.3.1 梯度下降算法

对于单个特征: $x_{cp}$
如何筛选最优的模型（参数w，b），也就是模型优化需要解决的问题。

已知损失函数是 $L(w,b)={\sum }_{n=1}^{10}{\left({\hat{y}}^n-(b+w\cdot x_{cp})\right)}^2$ ，需要找到一个令结果最小的 $f^{\ast }$，在实际的场景中，我们遇到的参数肯定不止 $w$, $b$。
先从最简单的只有一个参数$w$入手，定义$w^{\ast }=arg\underset{x}{\min }L(w)$

首先在这里引入一个概念 学习率 ：移动的步长，如图中 $\eta$

• 步骤1：随机选取一个 $w^0$
• 步骤2：计算微分，也就是当前的斜率，根据斜率来判定移动的方向
  • 大于0向右移动（增加$w$）
  • 小于0向左移动（减少$w$）
• 步骤3：根据学习率移动
• 重复步骤2和步骤3，直到找到最低点
  步骤1中，我们随机选取一个 $w^0$，如图8所示，我们有可能会找到当前的最小值，并不是全局的最小值，这里我们保留这个疑问，后面解决。

解释完单个模型参数$w$，引入2个模型参数 $w$ 和 $b$ ， 其实过程是类似的，需要做的是偏微分
整理成一个更简洁的公式：
如果把 $w$ 和 $b$ 在图形中展示：

• 每一条线围成的圈就是等高线，代表损失函数的值，颜色约深的区域代表的损失函数越小
• 红色的箭头代表等高线的法线方向

2.3.2 梯度下降算法存在的问题

• 问题1：当前最优（Stuck at local minima）
• 问题2：等于0（Stuck at saddle point）
• 问题3：趋近于0（Very slow at the plateau）
  
  注意：其实在线性模型里面都是一个碗的形状（也就是上一节的那个w和b变化的等高线图），梯度下降基本上都能找到最优点，因此对于我们这次讨论的线性模型不存在上述问题。但是再其他更复杂的模型里面，就会遇到 问题2 和 问题3 了。

3、如何验证训练好的模型的好坏

使用训练集和测试集的平均误差来验证模型的好坏 我们使用将10组原始数据，训练集求得平均误差为31.9，如图所示：

然后再使用10组Pokemons测试模型，测试集求得平均误差为35.0 如图所示：

4、对于模型选择方面的改进

4.1 选择高阶的线性模型

在模型选择上，我们可以选取更复杂的模型。使用1元2次方程举例，如图，发现训练集求得平均误差为15.4，测试集的平均误差为18.4。

注意：是不是能画出直线就是线性模型，各种复杂的曲线就是非线性模型？ 其实还是线性模型，因为把 $x_{cp}^1$ = $(x_{cp}{)}^2$ 看作一个特征，那么 $y=b+w_1\cdot x_{cp}+w_2\cdot x_{cp}^1$ 其实就是线性模型。

4.2 当阶数更高可能出现过拟合问题

在模型上，我们再可以进一部优化，使用更高次方的模型，如图所示

训练集平均误差【15.4】【15.3】【14.9】【12.8】
测试集平均误差【18.4】【18.1】【28.8】【232.1】

三次模型：
四次模型：
五次模型：

在训练集上面表现更为优秀的模型，为什么在测试集上效果反而变差了？这就是模型在训练集上过拟合的问题。

如图所示，每一个模型结果都是一个集合，$5次模型包\supseteq 4次模型\supseteq 3次模型$ 所以在4次模型里面找到的最佳模型，肯定不会比5次模型里面找到更差。

将错误率结果图形化展示，发现3次方以上的模型，已经出现了过拟合的现象：

4.3 模型优化的进一步尝试

因为单纯的增加次方数可能出现过拟合问题，因此我们进行其他方面的尝试：

4.3.1 尝试1：2个input的四个线性模型是合并到一个线性模型中

输入更多Pokemons数据，相同的起始CP值，但进化后的CP差距竟然是2倍。如图，其实将Pokemons种类通过颜色区分，就会发现Pokemons种类是隐藏得比较深得特征，不同Pokemons种类影响了进化后的CP值的结果。

通过对 Pokemons种类 判断，将 4个线性模型 合并到一个线性模型中

4.3.2 尝试2：希望模型更强大表现更好（更多参数，更多input）

在最开始我们有很多特征，图形化分析特征，将血量（HP）、重量（Weight）、高度（Height）也加入到模型中

更多特征，更多input，数据量没有明显增加，仍旧导致overfitting

4.3.3 尝试3：加入正则化

更多特征，但是权重 $w$ 可能会使某些特征权值过高，仍旧导致overfitting，所以加入正则化。正则化的本质就是让w变化尽量小一点，让曲线更”平滑“，这样输入中的干扰就会对曲线的影响更小一点。

• $w$ 越小，表示 $function$ 较平滑的， $function$输出值与输入值相差不大
• 在很多应用场景中，并不是 $w$ 越小模型越平滑越好，但是经验值告诉我们 $w$ 越小大部分情况下都是好的。
• $b$ 的值接近于0 ，对曲线平滑是没有影响

5、代码实现

现在假设有10个x_data和y_data，x和y之间的关系是y_data=b+w*x_data。b，w都是参数，是需要学习出来的。现在我们来练习用梯度下降找到b和w。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl

# matplotlib没有中文字体，动态解决
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Simhei']  # 显示中文
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题

x_data = [338., 333., 328., 207., 226., 25., 179., 60., 208., 606.]
y_data = [640., 633., 619., 393., 428., 27., 193., 66., 226., 1591.]
x_d = np.asarray(x_data)
y_d = np.asarray(y_data)

x = np.arange(-200, -100, 1)
y = np.arange(-5, 5, 0.1)
Z = np.zeros((len(x), len(y)))
X, Y = np.meshgrid(x, y)

# loss
for i in range(len(x)):
    for j in range(len(y)):
        b = x[i]
        w = y[j]
        Z[j][i] = 0  # meshgrid吐出结果：y为行，x为列
        for n in range(len(x_data)):
            Z[j][i] += (y_data[n] - b - w * x_data[n]) ** 2
        Z[j][i] /= len(x_data)



# linear regression
#b = -120
#w = -4
b=-2
w=0.01
lr = 0.000005
iteration = 1400000

b_history = [b]
w_history = [w]
loss_history = []
import time
start = time.time()
for i in range(iteration):
    m = float(len(x_d))
    y_hat = w * x_d  +b
    loss = np.dot(y_d - y_hat, y_d - y_hat) / m
    grad_b = -2.0 * np.sum(y_d - y_hat) / m
    grad_w = -2.0 * np.dot(y_d - y_hat, x_d) / m
    # update param
    b -= lr * grad_b
    w -= lr * grad_w

    b_history.append(b)
    w_history.append(w)
    loss_history.append(loss)
    if i % 10000 == 0:
        print("Step %i, w: %0.4f, b: %.4f, Loss: %.4f" % (i, w, b, loss))
end = time.time()
print("大约需要时间：",end-start)



# plot the figure
plt.subplot(1, 2, 1)
C = plt.contourf(x, y, Z, 50, alpha=0.5, cmap=plt.get_cmap('jet'))  # 填充等高线
# plt.clabel(C, inline=True, fontsize=5)
plt.plot([-188.4], [2.67], 'x', ms=12, mew=3, color="orange")
plt.plot(b_history, w_history, 'o-', ms=3, lw=1.5, color='black')
plt.xlim(-200, -100)
plt.ylim(-5, 5)
plt.xlabel(r'$b$')
plt.ylabel(r'$w$')
plt.title("线性回归")

plt.subplot(1, 2, 2)
loss = np.asarray(loss_history[2:iteration])
plt.plot(np.arange(2, iteration), loss)
plt.title("损失")
plt.xlabel('step')
plt.ylabel('loss')
plt.show()

输出结果如图：

按照正常来说，不应该能够达到最优点，因此这里的结果可能有一些问题，会在后面的博客中重新修正。