图的最短路径问题！

文章目录

• Java高阶数据结构 & 图的最短路径问题
• • 1. Dijkstra算法【单源最短路径】
  • • 1.1 Dijkstra算法证明
    • 1.2 Dijkstra算法代码实现
    • 1.3 堆优化的Dijkstra算法
    • 1.4 堆优化Dijkstra算法代码实现
  • 2. Bellman-Ford算法【单源最短路径】
  • • 2.1 BF算法证明
    • 2.2 BF算法代码实现
    • 2.3 队列优化的BF算法：SPFA算法
    • 2.4 SPFA算法代码实现
    • 2.5 复杂度分析
  • 3. Floyd-Warshall算法【多源最短路径】
  • • 3.1 算法思想
    • 3.2 代码实现

Java高阶数据结构 & 图的最短路径问题

图的基础知识博客：传送门

最短路径问题： 从在带权图的某一顶点出发，找出一条通往另一顶点的最短路径，最短也就是沿路径各边的权值总 和达到最小。

一共会讲解三种算法

1. Dijkstra算法【单源最短路径】
2. Bellman-Ford算法【单源最短路径】
   • 改进：SPFA算法
3. Floyd-Warshall算法【多源最短路径】

单源最短路径问题： 给定一个图G = ( V ， E ) G=(V，E)G=(V，E)，求源结点s ∈ V 到图中每个结点v ∈ V 的最短路径。

多源最短路径问题： 就是找到每个顶点到除本身的顶点的最短路径

两顶点不连通，则不存在最短路径–>∞

在后面的讲解中，就不要联想到邻接矩阵了，这样脑子CPU都要烧烂了，代码实现需要邻接矩阵，而不是图就长成矩阵这么抽象的样子。

• 看原图去分析思考就行了，记住边的代码表达即可

  • 比如说，一个顶点连出去的边，在原图中很明显，在邻接矩阵中不明显，但是后续我们要得到连出去的边，我们也有方法呀，所以在算法思考的时候，先不要在意这点！
• 1. 算法思路：原图
  2. 代码实现：根据算法翻译即可
     
     

  如果你本来就是这样的，那真的太棒了

---

注意：带负权的图，可能可以找到最短路径，也可能找不到

1. 带负权回路的图，不存在最短路径

判断方法：

• 一条路径上通过两次一样的顶点，第二次反而更短了，则必然存在一个 负权回路
• 即，这个环的权值和为负数

则说明：一张图的最短路径，一定满足边数<= n-1

原因：

因为可以通过这个负权回路，导致一些最短路径趋近于负无穷大

• 即，在这个环里，无限循环

（带负权一定要是有向图，无向图的话，负权边一定构成两个顶点的负权回路）

---

以下算法代码实现简单，重点看算法思想！

1. Dijkstra算法【单源最短路径】

• 思路适用于解决带权重的有向图上的单源最短路径问题
  • 无向图当然也可以~
• 但是，算法要求图中的所有边的权重都是非负的~
  • 再讲解完算法后你就知道为什么了

定义：（不懂没关系，最后我有详细的证明）

1. 定义一个dist数组，这个数组记录出发点到其他点的最短路径

   • 一开始没找出来的时候，默认全为无穷大，到自身距离为0

2. 定义一个path数组，代表每个顶点的前一个节点

   • 通过这个数组可以还原路径

3. 定义一个操作：“松弛”

   • 松弛一个顶点，就是将其连通的所有边进行以下操作：

   • 设此顶点为i，连通终点为j

   • 判断：dist[i] + weight(i, j) < dist[j]

   1. 如果为真，则说明j此时的最短路径不是最短路径，path[j] = i，dist[j] = dist[i] + weight(i, j)
   2. 如果为假，什么也说明不了

至于为什么叫松弛，这也是英译过来的。
一开始小范围的这个操作，只能涉及一些边和一些顶点，就像弹簧被压得很紧，这个操作会带向更多的边，弹簧也没那么紧了~

不理解也没所谓，不要纠结这个动词，不要纠结这个叫法！

步骤：

1. 选取此时dist中的最小元素下标，标记它，断言此顶点为最短路径
   • （值为0的出发点此时必然第一个被标记和松弛）
2. 松弛刚才被标记的顶点
3. 选取松弛完dist中最小元素下标，标记它，断言此顶点为最短路径
4. 松弛刚才被标记的顶点
5. 选取松弛完dist中最小元素下标，标记它，断言此顶点为最短路径
6. 松弛刚才被标记的顶点
7. …
8. 直到所有顶点都被标记

可以有两种理解方式：

1. 标记 松弛 标记 松弛 标记 松弛 … 标记（最后一次没必要松弛）
   • 标记最短路径顶点，松弛这个顶点
2. （标记出发点后） 松弛 标记 松弛 标记 松弛 标记 … 松弛 标记
   • 松弛后诞生一个最短路径，标记

获得最短路径：

• 通过path数组，不断向出发点方向“跳”，直到到达出发点

例子：

• 如以上连通无向图，求0为出发点，求0到其余点的最短路径

动图演示：

来源：【算法】最短路径查找—Dijkstra算法_哔哩哔哩_bilibili

• 讲的很好！
• 但是没有证明为什么，接下来就来看看为什么吧

1.1 Dijkstra算法证明

---

1. 松弛操作的作用

• 所以，松弛操作，保证了目前看来（在下一次松弛之前），顶点们在dist数组内的中是当前能达到的最小值
• 并且改变j的路径为，【0 , i】延伸一条边【i , j】

一样短会怎么样呢？

• 不会怎么样，只是说明最短路径不唯一

至少对这个顶点后续的延伸是没区别的，因为0到j的距离都一样，后续该怎么延伸出去还是怎么延伸出去

---

2. 为什么可以断言这个顶点一定是最短路径？

重要原因：图没有负权

我们按照算法思路先走一走

1. 选择0，这是显然的，松弛0后，诞生了“第一代最短路径”（路径上只有1条边）
2. 标记松弛后的dist数组（未标记顶点）中最小的顶点

那么我们就断言第一代最短路径中最短的那条路径，就是“正确的”

• 这也是携带了为什么Dijkstra只能解决带非负权图的原因
• 就是因为，它的算法的前提，就是没有负权！

第一代最短路径最短那那条L，就不可能通过任何方式让其更短

• 因为这个点的其他路径就只能是第二代，或者更多
• 而这条路径，是通过第一代最短路径的另一些边的，而这些边本身就比L大，并且此后路径的边都是正的，必然比L大

2. 松弛刚才标记的顶点1，诞生“第二代最短路径”（路径上为2条边）
3. 标记松弛后的dist数组（未标记顶点）中最小的顶点

那么我们就断言第一代最短路径中最短的那条路径L2，就是“正确的”

同样的道理，这条路径要么是一条边的，要么是两条边的

刚才为什么不一起选择7这个顶点呢？

• 【0到1】 比 【0到7】 短，所以可能【0到1】在到其他顶点，再回到7这个顶点

在第二代最短路径中，刚才的0松弛操作保证了目前看来最短路径为一条边的和最短路径为两条边的顶点在dist值最小

你会发现，如果你不对刚才的更新的顶点进行松弛，而是重复松弛之前的顶点，没有任何顶点更新，没有任何作用，则刚才的松弛操作，已经保证了这一点
而你可以这样理解，松弛就相当于在对账核对，核对完后，保证这一点
（这是本文章的核心思想）

• 即，局部范围内，他们是最短路径（在现在能触及的范围内，他们的dist值是正确的）
• 即，以出发点为标准，最多延伸两条边的子图范围内，他们都是最短路径
  • 这个子图不包含所有的“两条边的路径”，不包含的部分也不需要出现，因为没有负权，包含在内的“两条边的路径”，是由上一次的最短路径顶点延伸出来的，那么这个条包含在子图内的“两条边的路径”，一定是比不包含的要短~

这一次，最短的是【0到7】，同样的原因，可以断言7此时是正确的最短路径

• 刚才的证明了此时7是这个范围内的最短路径，这就够了
• 后续不会再有到7路径更短的顶点了（别的路径只能增加）

4. 松弛顶点7，诞生第三代最短路径
5. 标记松弛后dist值（未标记顶点中）最小的顶点

同样的，以出发点为标准，最多延伸三条边的子图（<=3，一样的，不一定包含所有的“三边路径”和“两边路径”，一定包含“更有权威的”路径）范围内，他们都是最短路径

• 选择顶点6（此时顶点6）~
  • 因为后续到这顶点就只能增了~

依照这个思路下去，所有顶点被标记，结束！

• 这个例子中，边数最多的路径，为“四边路径”，【0到4】
  

---

3. 为什么可以通过path确认最短路径？

以【0到4】为例子

【0到4】=【0到5】+【5到4】

1. 其实一条长路径一定是由短路径拼接起来的（由刚才的算法得出结论，最短路径的更新，是在前一个顶点的最短路径基础上延伸一条边）
2. 

所以，一个最短路径的子路径为别的顶点的最短路径，所以可以通过下标的往回“跳”，得到真实路径

证明完毕~

1.2 Dijkstra算法代码实现

• 代码实现看起来很简单，但是原理是刚才那样的复杂

	/**
     *
     * @param src 出发点
     * @param dist 要求把最短路径长存放在这个数组里
     * @param path 要求将前面点存放在这个数组里
     */
public void dijkstra(char src, int[] dist, int[] path) {
    
    //获取顶点下标
    int srcIndex = getIndexOfV(src);

    //初始化dist
    Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
    dist[srcIndex] = 0;//起始点

    //初始化path
    Arrays.fill(path, -1);
    path[srcIndex] = srcIndex;//如果是前一个顶点是本身的话，则说明到达起始点

    //定义visited数组
    int n = arrayV.length;
    boolean[] visited = new boolean[n];

    //开始标记与松弛操作了
    //由于我们知道每次循环都会标记一个，那么循环次数就知道了，所以我们就用特定的for循环去写
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    

        //找dist最小值
        int index = srcIndex;//这个无所谓
        int min = Integer.MAX_VALUE;
        for (int j = 0; j < n; j++) {
    
            if(!visited[j] && dist[j] < min) {
    
                index = j;
                min = dist[j];
            }
        }
        //标记
        visited[index] = true;

        //松弛
        for (int j = 0; j < n; j++) {
    
            //被必要松弛到标记的顶点的，因为没用（再之前的证明中），你要也可以
            if(!visited[j] && matrix[index][j] != Integer.MAX_VALUE
               && dist[index] + matrix[index][j] < dist[j]) {
    
                //松弛导致的更新操作，更新其路径为【0，index】延伸一条边【index，j】
                dist[j] = dist[index] + matrix[index][j];
                path[j] = index;
            }
        }
    }
}

测试：

打印路径和路径长的方法：

public void printShortPath(char vSrc,int[] dist,int[] pPath) {
    
    //1. 获取顶点下标
    int srcIndex = getIndexOfV(vSrc);
    int n = arrayV.length;
    //2、遍历pPath数组 的n个 值，
    // 每个值到起点S的 路径都打印一遍
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
        //自己到自己的路径不打印
        if(i != srcIndex) {
    
            ArrayList<Integer> path = new ArrayList<>();
            int parentI = i;
            while (parentI != srcIndex) {
    
                path.add(parentI);
                parentI = pPath[parentI];
            }
            path.add(srcIndex);
            //翻转path当中的路径
            Collections.reverse(path);
            for (int pos : path) {
    
                System.out.print(arrayV[pos] +" -> ");
            }
            System.out.println(dist[i]);
        }
    }
}

测试案例：

public static void testGraphDijkstra() {
    
    String str = "syztx";
    char[] array = str.toCharArray();
    GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);
    g.initArrayV(array);
    g.addEdge('s', 't', 10);
    g.addEdge('s', 'y', 5);
    g.addEdge('y', 't', 3);
    g.addEdge('y', 'x', 9);
    g.addEdge('y', 'z', 2);
    g.addEdge('z', 's', 7);
    g.addEdge('z', 'x', 6);
    g.addEdge('t', 'y', 2);
    g.addEdge('t', 'x', 1);
    g.addEdge('x', 'z', 4);
/*    
	搞不定负权值
    String str = "sytx";
    char[] array = str.toCharArray();
    GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);
    g.initArrayV(array);
    g.addEdge('s', 't', 10);
    g.addEdge('s', 'y', 5);
    g.addEdge('t', 'y', -7);
    g.addEdge('y', 'x', 3);
*/

    int[] dist = new int[array.length];
    int[] parentPath = new int[array.length];
    g.dijkstra('s', dist, parentPath);
    g.printShortPath('s', dist, parentPath);
}
public static void main(String[] args) {
    
    testGraphDijkstra();
}

1.3 堆优化的Dijkstra算法

• 时间复杂度为O(N²)
  • 标记N次，每次都要遍历数组
  • 但是这个原始的算法，适合解决稠密图的最短路径~

• 但如果是稀疏图的话，每次都遍历一次数组，这个复杂度太大了
• 所以有了以下堆优化的算法

本质原理一样：

定义存放在堆里面的类：

class Point {
    
    int index;
    int minPath;
}

1. 每次松弛都向堆里面放这个对象（而不是改变堆里面对应index的值）

   • 堆是如何实现与dist数组一样“更新”的呢？
   • 因为我新加入的这个对象，会比堆原本的那个index值的那个值要小，肯定会在其之前被取出

2. 取堆顶元素

   • 如果这个元素被标记过，达咩，不要（continue）

   • 如果这个元素没有被标记过，哟西，标记它，并且对其进行松弛操作

     • 标记后，其后面出现遗留的点也无所谓咯

而优化后是适合稀疏图的，因为松弛入堆操作的次数可以认为是C常数，那么复杂度为O(N*log₂N)

• 但是如果是稠密图，这个松弛入堆操作的次数则会接近于N，算法复杂度到达O(N²*log₂N)
• 比不优化的还差

1.4 堆优化Dijkstra算法代码实现

定义Point类：

static class Point {
    
    int indexV;
    int distValue;

    public Point(int indexV, int distValue) {
    
        this.indexV = indexV;
        this.distValue = distValue;
    }
}

核心方法：

• 根据的就是刚才的算法!

/**
 *
 * @param src 出发点
 * @param dist 要求把最短路径长存放在这个数组里
 * @param path 要求将前面点存放在这个数组里
 */
public void pQDijkstra(char src,int[] dist,int[] path) {
    
    //获得顶点下标
    int srcIndex = getIndexOfV(src);
    //初始化dist
    Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
    dist[srcIndex] = 0;//起始点

    //初始化path
    Arrays.fill(path, -1);
    path[srcIndex] = srcIndex;//如果是前一个顶点是本身的话，则说明到达起始点

    //定义visited数组
    int n = arrayV.length;
    boolean[] visited = new boolean[n];

    //定义小根堆
    PriorityQueue<Point> queue = new PriorityQueue<Point>(
            (o1, o2) -> {
    
                return o1.distValue - o2.distValue;
            }
    );

    queue.offer(new Point(srcIndex, 0));
    while(!queue.isEmpty()) {
    
        Point point = queue.poll();
        int index = point.indexV;
        //被标记过，达咩！
        if(visited[index]) {
    
            continue;
        }
        //标记
        visited[index] = true;
        //松弛
        for (int j = 0; j < n; j++) {
    
            //被必要松弛到标记的顶点的，因为没用（再之前的证明中），你要也可以
            if(!visited[j] && matrix[index][j] != Integer.MAX_VALUE
                    && dist[index] + matrix[index][j] < dist[j]) {
    
                //松弛导致的更新操作，更新其路径为【0，index】延伸一条边【index，j】
                dist[j] = dist[index] + matrix[index][j];
                path[j] = index;
                queue.offer(new Point(j, dist[j]));
            }
        }
    }
}

测试：

g.pQDijkstra('s', dist, parentPath);
g.printShortPath('s', dist, parentPath);

public static void main(String[] args) {
    
    testGraphDijkstra();
}

• 跟刚才一样的案例

结果一致：

2. Bellman-Ford算法【单源最短路径】

如果把Dijkstra算法称为深度优先，那么Bellman-Ford算法就是广度优先，也更加直接与粗暴

• 简称BF（更暴力算法BF还真对上了O(∩_∩)O哈哈~）

与Dijkstra算法不同，其可以解决带负权的图的最短路径问题！

用到Dijkstra用过的操作：

不同的是它的算法步骤：

1. 对全局所有的顶点，都进行一次松弛操作
2. 这里不做任何标记，因为现在直接相连的点，最终如果有负权，还是有可能通过“边数更长的最短路径”到达该点
3. 这样的操作进行N - 1轮，N为顶点的个数
   • 如果这一次没有做任何更新，则以后的松弛也不会有任何的更新，退出循环，结束！

获得最短路径：

• 通过path数组，不断向出发点方向“跳”，直到到达出发点

例子：

动图演示：

来源：【熊羊一锅鲜】Ep.13 单源最短路径Bellman-Ford算法及SPFA算法_哔哩哔哩_bilibili

2.1 BF算法证明

一些点在Dijkstra的证明那已经讲过了

• 不同的一点在于，BF算法松弛操作的顶点，每一次都是所有顶点~

你也会发现，一开始如果先松弛的不是出发点，或者是“已经有路径的顶点”，这个松弛操作是没有意义的，因为这个顶点的dist值为∞

• 这也衍生出了一个问题：顶点松弛的先后会不会有影响

2. 第N代最短路径中“边最长为N”的子图范围内，各个顶点的dist值在这个局部范围内【限制路径最多有N条边】是正确的，是最短的

这一点，是 通过松弛操作来保证 的，原本Dijkstra算法没有保证这个子图的完整性，而BF算法由于每次都是松弛所有顶点，所以这个子图是完整的~

如第一代子图（第一次循环的结果）：

如第二代子图（第二次循环的结果）：

如第三代子图（第三次循环的结果）：

你可能有一个错觉：这不是已经涉及所有顶点了吗，那么这就是在全局范围内的正确？

否，因为这里限制路径长最大是“三条边”，在这个限制下是正确的

• 例如【0到6】最短为三步，再走一步到7确实是11<12但是，这就是四步了呀

如第四代子图（第四次循环的结果）：

到了第五代子图的时候（第五次循环的结果）：

• 所有顶点都没被更新~
• 跳出循环，算法结束
• 说明了里面“最长的最短路径”是四条边的

3. 顶点松弛的先后会不会有影响

其实 被松弛涉及到的顶点i有更新的条件 是：顶点j（顶点j松弛后涉及到了顶点i）更新过

而你也发现了这个算法产生了大量的没用操作

1. 如果先对“后面”的顶点松弛，可能没有作用
2. 假设此次是第n次循环，那么一个顶点目前最短路径边数小于等于n-2的顶点
   • 例如第二次循环的时候，出发点没必要松弛
   • 第三次循环的时候，最短路径边数为1的顶点没有必要松弛
     • 因为松弛完后最多为两条边，而两条边的时候在第二代子图（第二次循环结果）中，已经是得到最短的了
     • 所以没有必要！

你可能会觉得，先松弛出发点，那么可能“后面的顶点”也会链式的被更新到

• 但这样，“前面的路径”发生改变，这个“后面的顶点”也有改变的风险

而我们只需要保证这一个严格成立即可

第N代最短路径中“边最长为N”的子图范围内，各个顶点的dist值在这个局部范围内【限制路径最多有N条边】是正确的，是最短的

最坏的情况下，就是完全“逆行”，即使这样，每一代都能够满足这一点

• 因为每个顶点都要松弛
• 顺序不同只是改变其“连锁反应”【就是因为刚才它刚变了，导致我虽然和它都是第n此松弛，但是我却因此可以更新别的顶点】
• 而不会改变其“必然的变化”
  • 这必然的变化，不是由于连锁反应产生的

动图分析：（抽象）

• 希望你能get到

4. 最后一次循环的更新后，难道不应该再次松弛去更新其他顶点吗？

答：不用，理由就是到达第N - 1次循环，结果是第N-1代子图，这已经到达了“全局范围”，所有顶点的dist值最短路径都是正确的。

1. 所有的路径本身就小于等于N - 1,在最后一次循环更新的顶点，则说明其路径达到最长值：n-1条边

2. 松弛的作用结果是延伸刚才的路径，那么刚才的路径已经是边数最大，松弛不会成功，没有必要继续松弛了

3. 如果是带负权回路的，继续松弛一直都会更新

   • 会产生第∞代子图
   • 需要循环后去判断~

证明完毕~

2.2 BF算法代码实现

//这也是判断是否有负权回路的算法
public boolean bellmanFord(char src,int[] dist,int[] path) {
    
    //获得顶点下标
    int srcIndex = getIndexOfV(src);
    //初始化dist
    Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
    dist[srcIndex] = 0;//起始点

    //初始化path
    Arrays.fill(path, -1);
    path[srcIndex] = srcIndex;//如果是前一个顶点是本身的话，则说明到达起始点

    int n = arrayV.length;

    //循环n-1次，每次松弛一个顶点
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    
        for (int j = 0; j < n; j++) {
    
            for (int k = 0; k < n; k++) {
    
  				if(matrix[j][k] != Integer.MAX_VALUE && 
                            matrix[j][k] + dist[j] < dist[k]) {
    
                        dist[k] = matrix[j][k] + dist[j];
                        path[k] = j;
                }
            }
        }
    }
    //检测负权回路
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
        for (int j = 0; j < n; j++) {
    
            //至于一样短的情况下，无所谓，这就是最短路径不唯一呗~
            //
            if (matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE 
                && matrix[i][j] + dist[i] < dist[j]) {
    
                return false; //false代表了有负权回路

            }
        }
    }
    return true;
}

测试案例：

public static void testGraphBellmanFord() {
    
    String str = "syztx";
    char[] array = str.toCharArray();
    GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);
    g.initArrayV(array);
    g.addEdge('s', 't', 6);
    g.addEdge('s', 'y', 7);
    g.addEdge('y', 'z', 9);
    g.addEdge('y', 'x', -3);
    g.addEdge('z', 's', 2);
    g.addEdge('z', 'x', 7);
    g.addEdge('t', 'x', 5);
    g.addEdge('t', 'y', 8);
    g.addEdge('t', 'z', -4);
    g.addEdge('x', 't', -2);
    //负权回路实例
    //        g.addEdge('s', 't', 6);
    //        g.addEdge('s', 'y', 7);
    //        g.addEdge('y', 'z', 9);
    //        g.addEdge('y', 'x', -3);
    //        g.addEdge('y', 's', 1);
    //        g.addEdge('z', 's', 2);
    //        g.addEdge('z', 'x', 7);
    //        g.addEdge('t', 'x', 5);
    //        g.addEdge('t', 'y', -8);
    //        g.addEdge('t', 'z', -4);
    //        g.addEdge('x', 't', -2);
    int[] dist = new int[array.length];
    int[] parentPath = new int[array.length];
    boolean flg = g.bellmanFord('s', dist, parentPath);
    if(flg) {
    
        g.printShortPath('s', dist, parentPath);
    }else {
    
        System.out.println("存在负权回路");
    }
}
public static void main(String[] args) {
    
    testGraphDijkstra();
}

测试一个不带负权回路的案例：

测试带负权回路的：

2.3 队列优化的BF算法：SPFA算法

刚才提到：

那么我们只需要松弛更新了的顶点就好了呀，

结合BF的视角：

1. 每一次循环更新的顶点，设他们的集合为set1
2. 下一次循环更新的顶点，设他们的集合为set2

要想满足BF算法的思想：

• set1的整体要在set2的整体前松弛完才行
• 才能有第一代子图—第二代子图—第三代子图这样的效果

所以用到数据结构：队列

---

步骤就是：

1. 将起始点放入队列
2. 循环以下操作
   • 取队头得到一个顶点
   • 松弛这个顶点
3. 直到队列为空，即不再有元素更新，结束算法

---

显然，这个算法没法判断负权回路的存在，会死循环下去~

2.4 SPFA算法代码实现

public void queueBellmanFord(char src,int[] dist,int[] path) {
    
    //获得顶点下标
    int srcIndex = getIndexOfV(src);
    //初始化dist
    Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);
    dist[srcIndex] = 0;//起始点

    //初始化path
    Arrays.fill(path, -1);
    path[srcIndex] = srcIndex;//如果是前一个顶点是本身的话，则说明到达起始点

    int n = arrayV.length;

    //定义一个队列
    Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
    queue.offer(srcIndex);

    //开始循环松弛
    while(!queue.isEmpty()) {
    
        int top = queue.poll();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
            if (matrix[top][i] != Integer.MAX_VALUE
                    && matrix[top][i] + dist[top] < dist[i]) {
    
                dist[i] = matrix[top][i] + dist[top];
                path[i] = top;
                queue.offer(i);
            }
        }
    }
}

测试：

• 带负权回路的案例会死循环，这里就不展示了~

public static void testGraphBellmanFord() {
    
    String str = "syztx";
    char[] array = str.toCharArray();
    GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);
    g.initArrayV(array);
    g.addEdge('s', 't', 6);
    g.addEdge('s', 'y', 7);
    g.addEdge('y', 'z', 9);
    g.addEdge('y', 'x', -3);
    g.addEdge('z', 's', 2);
    g.addEdge('z', 'x', 7);
    g.addEdge('t', 'x', 5);
    g.addEdge('t', 'y', 8);
    g.addEdge('t', 'z', -4);
    g.addEdge('x', 't', -2);
    int[] dist = new int[array.length];
    int[] parentPath = new int[array.length];
    g.queueBellmanFord('s', dist, parentPath);
    g.printShortPath('s', dist, parentPath);
}
public static void main(String[] args) {
    
    testGraphDijkstra();
}

2.5 复杂度分析

M是边的数量，N是顶点的个数

则BF算法的时间复杂度为O(N * M)，而大部分情况下SPFA算法的时间复杂度为O(M)，最坏情况是O(N * M)

如果是稠密图的话，M会变得很大很大，两个算法的时间复杂度都会变得很大！

• 所以这两种算法适合去解决带负权的稀疏图~

3. Floyd-Warshall算法【多源最短路径】

3.1 算法思想

但是，值得注意的是：根据相邻顶点之间的权值，要记录下来每个顶点“一条边的路径”！否则这个算法没有用武之地

• 因为dist初始都是无穷大，并且这个算法的步骤没有用到matrix数组，即没有用到权值

并且：最外层循环的循环遍历的应该对应的是中间节点

如果外两层是i，j循环（路线【i到j】），然后最内层循环是k循环（中间节点），这样子是很局限的，因为这i到j再k循环结束后，就被确定了唯一的最短路径，而不是在单单这一次就确定了，这是很不合理的。

• 因为在后面的变化中，i到j的路线，是很有可能被改变的，而这种写法，后续是没法改掉的！

正确的应该是最外层是k循环（中间节点），内两层是i，j循环（路线【i到j】），这样才能保证路径一定能被发现，并且后续【i到j】的路径也能会应变，直到全部循环结束而被确立下来~

定义：

左图为：一个连通图

右图为：它的dist二维数组（初始状态，未开始算法）

• 定义一个dist二维数组，（i, j）代表这i到j的最短路径路径长
• 定义一个path二维数组，(i, j)代表这个i到j的路径的上一个顶点
  • 在这一行上跳动即可
  • 为什么可以跳动，原因与以上一致

可见时间复杂度为：O(N³)

推荐：Ep.23 弗洛伊德Floyd-Warshall算法_哔哩哔哩_bilibili

3.2 代码实现

public void floydWarShall(int[][] dist, int[][] path) {
    
    //初始化dist和path
    int n = arrayV.length;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
        Arrays.fill(dist[i], Integer.MAX_VALUE);
        Arrays.fill(path[i], -1);
    }

    //每一个顶点的第一代子图，记录在dist和path中，现在局部的最短路径
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
        for (int j = 0; j < n; j++) {
    
            if(matrix[i][j] != Integer.MAX_VALUE) {
    
                dist[i][j] = matrix[i][j];
                path[i][j] = i;//这一行的上一个就是i
            }else {
    
                path[i][j] = -1;//不存在路径
            }
            if(i == j) {
    
                dist[i][j] = 0;
                path[i][j] = j;//跳回本身
            }
        }
    }
    //进行算法，每个顶点都当一回中介点
    //每个顶点都被当做一次起始点,终点
    //一个点即使起始点有时中介点又是终点，好像也无所谓
    //只要满足那个方程！
    //顺序完全没关系~
    for (int k = 0; k < n; k++) {
    
        for (int i = 0; i < n; i++) {
    
            for (int j = 0; j < n; j++) {
    
                //规定k代表的是中介点，i为起始点，j为终点
                boolean flag = dist[i][k] != Integer.MAX_VALUE
                        && dist[k][j] != Integer.MAX_VALUE
                        && dist[i][k] + dist[k][j] < dist[i][j];
                //取不取等无所谓，只是不同最短路径的区别罢了
                if (flag) {
    
                    dist[i][j] = dist[i][k] + dist[k][j];
                    path[i][j] = path[k][j];//【i，j】以【k，j】为子路径
                }

            }
        }
    }
}

• i与j与k相等没有什么大碍

测试：

public static void testGraphFloydWarShall() {
    
    String str = "12345";
    char[] array = str.toCharArray();
    GraphByMatrix g = new GraphByMatrix(str.length(),true);
    g.initArrayV(array);
    g.addEdge('1', '2', 3);
    g.addEdge('1', '3', 8);
    g.addEdge('1', '5', -4);
    g.addEdge('2', '4', 1);
    g.addEdge('2', '5', 7);
    g.addEdge('3', '2', 4);
    g.addEdge('4', '1', 2);
    g.addEdge('4', '3', -5);
    g.addEdge('5', '4', 6);
    int[][] dist = new int[array.length][array.length];
    int[][] path = new int[array.length][array.length];
    g.floydWarShall(dist,path);
    for (int i = 0; i < array.length; i++) {
    
        g.printShortPath(array[i],dist[i],path[i]);
        //把一行一行传过去~
        //一行代表一个顶点到其他顶点的最短路径
    }
}

public static void main(String[] args) {
    
    testGraphFloydWarShall();
}

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文章到此结束！谢谢观看
可以叫我 小马，我可能写的不好或者有错误，但是一起加油鸭！

这就是最短路径问题的全部内容了，如果有什么不懂可以留言/私信讨论！

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